58.CMO级

于点r，直线bf与cd交于点q，直线ad与bf交于点s，直线af与cd交于点t，点k在线段st上，使得∠skq=∠ace，求证：sk/kt=pq/qr。

    李轩凝神思考起来。

    几何题是李轩擅长的部分，没一会李轩就想到了，着手证明起来，在圆上画起辅助线，将ae，cf，ef，ed，df，bd连接起来。

    由圆内帕斯卡定理证明pqr三点共线。

    ab=ac，得到tfds四点共圆，和之前的共线把里面的边导出来，最后通过正弦定理可以证sk/kt=pq/qr。

    收手，李轩松了口气，继续看第二题。

    第二题题目很短：设x，y是正整数，求根号(512^x-7^(2y+1))的最小值。

    李轩眉头皱起来，题目是很短，但是真的难，比高中数学联赛复赛还难的感觉。

    另一边，欧阳哲在第一题也想了一会，以往他参加这种杯赛，第一题想都不要想，绝不可能出现这样被卡住的情况。

    “有意思，相当有意思。”

    欧阳哲舔着嘴唇，有些兴奋起来。

    他发现朝阳杯决赛试题出得非常好，背后怕是有大牛在出题，每一道题都有区分度，最简单的第一道几何题就卡住了他几分钟。

    开始只是来玩的，没有放在心上，但是题目的难度让他兴奋起来。

    整张试卷，共有五道大题，几何两题，代数，数论，组合各一题。就几何有两道题，中国队最近几年在imo，几何成绩一直不太好，似乎考虑这一点，朝阳杯几何题的比重有所加大。

    考场上，金乐天目测一下，全部无力解答。

    “感觉要完！决赛要考零分。”

    金乐天愁眉苦脸，有一种不祥的预感，好在进决赛最差的就是三等奖，这是唯一值得安慰的地方。

    现在能怎么办，第一题看起来最简单，看起来像是要用到共线和四点共圆定理，其他题目完全是没有丝毫头绪，甚至他怀疑给他答案他都看不懂。

    只能瞎几把画辅助线，看看能不能磨蹭出第一道几何题的解法，万一运气爆炸，画到了那条关键辅助线，解答出来也说不定。

    而梁智慧在第一道大题也卡住了，几何题不是他的强项，他比较擅长代数。

    通过结论，他试着逆推，看看能不能得到共圆。

    ……

    ……

    时间流逝，考场上静悄悄的。

    做这五道大题，很多考生有崩溃的趋势，难度超乎所有人事先预计，一题比一题难，大部分考生只能做出第一题，第二题就意思一下。

    欧阳哲前面写得很轻松，很快解决掉了前三道大题，速度怕是在所有参赛生中最快，但是翻到第四道大题的时候，他不知从何下手。

    被第四道几何题卡了将近半个小时，欧阳哲彻底懵逼了，在他看来，这道几何题比最后一道大题还更难，只有参加cmo的那些擅长平面几何的变态才能解得出来。

    直接证明没有思路，题干关系复杂，证明条件繁琐。

    没办法，欧阳哲只能用同一法试试看，但是总是差了一步，证明不了对称性。

    所谓同一法，指的是在符合同一法则的前提下，代替证明原命题而证明它的逆命题成立的一种方法。

    做一个多小时第四大题，时间都浪费了，依旧没有得到最终答案，欧阳哲有点烦，明明是来虐菜，怎么虐菜虐到硬茬，感觉像是参加cmo似的。

    “靠了，这谁出的题目！”

    欧阳哲皱着眉，有点想骂娘了，还在想第四道几何题。

    他现在做出了三道大题，到了第四大大题就有些歇菜了，当然最后是一道数论题是他擅长的部分，不过一个小杯赛，他觉得他做出三道大题肯定是第一，最后数论题他应该能做出来，有些不想看。

    被朝阳杯的题目给虐了怎么可以，是他几何太菜，还是题目真的太难？

    他就不信想不出第四题。

    ……

    李轩也写到第四题，看到题目就头疼起来。

    相比较第一道几何题，这一道几何题要证明等角线，难度很高，极具有挑战性，不能像第一题，能立刻确定用什么定理，第四题没有丝毫头绪，标准的cmo题的感觉。这种级别难度的题目，平时李轩要想半天，才能有一点思路。

    第四题就这么变态，第五题多难可想而知。

    要死了。

    李轩眉头都皱了起来，最擅长的几何题卡住，后面的数论压轴题，李轩做都不想做，甚至一度想用解析几何建立坐标系来蒙混过关。

    但是之前做过一道几何题，等角线转化成外接圆相切，这时候他忽然想起这个结论，这大题有很多位似中心，其实图感好的话，是很容易想到反演变换。

    设在平面内给定一点o和常数k（k不等于零），对于平面内任意一点a，确定a′，使a′在直线oa上一点，并且有向线段oa与oa′满足oaoa′=k。

    这就是反演变换，特点是两个图像相反。

    这一题的圆经过反演中心，它的反演图形是一条直线。

    不过反演法超纲了，在朝阳杯里不知能不能用。

    李轩皱起眉头，又试着用同一法去做，想着对称性，但是过程复杂到李轩想死，算到一半就歇菜了。不管了，李轩决定用反演法，圆反演成直线，看看能不能得到答案。